Logika matematika
Logika
matematika adalah
cabang logika dan matematika yang mengandung kajian matematis logika dan aplikasi
kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika
berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan
ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam
cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif. Bidang-bidang ini memiliki hasil dasar logika yang
serupa.
Jelas bahwa tanpa
logika, kita sering melakukan kesalahan dalam penarikan kesimpulan.
Dalam kehidupan sehari-hari, sering
kali kita di hadapkan pada suatu keadaan yang mengharuskan kita untuk membuat
suatu keputusan. Agar keputusan kita itu baik dan benar, maka terlebih dahulu
kita harus dapat menarik kesimpulan-kesimpulan dari keadaan yang kita hadapi
itu, dan untuk dapat menarik kesimpulan yang tepat diperlukan kemampuan menalar
yang baik.
Kemampuan menalar adalah kemampuan untuk menarik kesimpulan yang tepat
dari bukti-bukti yang ada dan menurut aturan-aturan tertentu. Lalu apa
kaitannya dengan logika?
Logika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar.
Secara bahasa, logika berasal dari kata “logos” (bahasa Yunani), yang artinyakata,
ucapan, pikiran. Kemudian pengertian itu berkembang menjadiilmu
pengetahuan. Logika dalam pengertian ini adalah berkaitan dengan
argumen-argumen, yang mempelajari metode-metode dan prinsip-prinsip untuk
,menunjukkan keabsahan (sah atau tidaknya) suatu argumen, khususnya yang
dikembangkan melalui penggunaan metode-metode matematika dan simbol-simbol matematika
dengan tujuan untuk menghindari makna ganda dari bahasa yang biasa kita gunakan
sehari-hari.
Pengertian Pernyataan dan Bukan
Pernyataan
Sebelum membahas pernyataan,
terlebih dahulu kita bahas pengertian kalimat. Kalimat adalah
rangkaian kata yang disusun menurut aturan bahasa yang mengandung arti.
Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah,
tetapi tidak sekaligus benar dan salah. (pernyataan disebut juga preposisi,
kalimat deklaratif). Benar diartikan ada kesesuaian antara apa yang dinyatakan
dengan keadaan yang sebenarnya.
Perhatikan beberapa contoh berikut!
1. Al-Quran adalah sumber hukum
pertama umat Islam
2. 4 + 3 = 8
3. Frodo mencintai 1
4. Asep adalah bilangan ganjil
Contoh nomor 1 bernilai benar,
sedangkan contoh nomor 2 bernilai salah, dan keduanya adalah pernyataan.
Sementara contoh nomor 3 dan 4 adalah kalimat yang tidak mempunyai arti.
Sekarang perhatikan contoh di bawah
ini!
1. Rapikan tempat tidurmu!
2. Apakah hari ini akan hujan?
3. Indah benar lukisan ini!
4. Berapa orang yang datang?
Kalimat di atas tidak mempunyai
nilai benar atau salah, sehingga bukan pernyataan.
Catatan:
Suatu pernyataan biasa kita
simbolkan dengan huruf kecil p,q,r,s, dan sebagainya.
Kalimat Terbuka
Perhatikan contoh berikut ini!
1. yang duduk di bawah pohon itu
cantik rupanya
2. seseorang memakai kacamata
3. 2x + 8y > 0
4. x + 2 = 8
Keempat contoh di atas belum tentu
bernilai benar atau salah. Kalimat yang demikian itu dinamakan kalimat
terbuka. Kalimat terbuka biasanya ditandai dengan adanya variabel (peubah).
Jika variabelnya diganti dengan konstanta dalam semesta yang sesuai maka
kalimat itu akan menjadi sebuah pernyataan.
Variabel (Peubah) adalah lambang yang menunjukkan anggota yang belum
tentu dalam semesta pembicaraan, sedangkan konstanta adalah
lambang yang menunjukkan anggota tertentu dalam semesta pembicaraan.
Pengganti variabel yang menyebabkan
kalimat terbuka menjadi pernyataan yang bernilai benar, disebut selesaian atau penyelesaian.
Catatan:
“”
artinya ekivalen
Contoh:
Buatlah pernyataan yang setara
dengan pernyataan: “jika ia benar-benar mencuri, maka pada saat pencurian harus
berada di tempat ini.”
Jawab:
Implikasi setara dengan
kontraposisi. Maka pernyataan itu dapat diubah menjadi, “jika pada saat
pencurian tidak berada di tempat itu, maka ia tidak mencuri.”
Penarikan Kesimpulan (Inferensi)
1) Pengertian Argumen
Argumen adalah serangkaian pernyataan-pernyataan
yang mempunyai ungkapan-ungkapan pernyataan “penarikan kesimpulan”
Argumen terdiri dari dua kelompok
pernyatan, yaitu premis(pernyataan-pernyataan sebelum kesimpulan)
dan sebuah konklusi(kesimpulan).
2) Modus ponens, modus tollens,
dan sillogisma
Sekarang kita akan membahas 3
bentuk argumentasi yang sah, yaitu modus ponens, modus tollens, dan sillogisma.
1. Modus ponens
Modus
ponens disebut juga kaidah pengasingan.
Bentuknya
sebagai berikut:
p
--> q (premis 1) berupa implikasi
p
(premis 2) berupa anteseden
——–-
q (konklusi)
2.
Modus tollens
Modus
tollens disebut juga kaidah penolakan.
Bentuknya
sebagai berikut:
p --> q (premis 1) berupa implikasi
q
(premis 2) berupa negasi dari konsekuen
———-
p (konklusi)
3.
Silogisma
Bentuknya
sebagai berikut:
p
--> q (premis 1) berupa implikasi
q
--> r (premis 2) berupa implikasi
———-
p
--> r (konklus)
Contoh Soal :
A.Buktikan bahwa proposisi berikut “TAUTOLOGI” !!
{(pvq)⇒r } ⇔{ (p⇒r)∧(q⇒r) }
{p⇒(q∧r) }⇔{(p⇒q)∧(p⇒r) }
{(p∧q)⇒r}⇔{(p∧ ∼r)⇒∼q)
{(p∧q)⇒r}⇔{(p⇒r) v (q⇒r)}
(p⇒r)⇒{(p∧q)⇒r}∧{p⇒(q∧r) }⇒(p⇒q)
{p⇒(q∧r) }⇔{(p⇒q)∧(p⇒r) }
{(p∧q)⇒r}⇔{(p∧ ∼r)⇒∼q)
{(p∧q)⇒r}⇔{(p⇒r) v (q⇒r)}
(p⇒r)⇒{(p∧q)⇒r}∧{p⇒(q∧r) }⇒(p⇒q)
B.Tentukan Konvers, Invers, dan
Kontraposisi dari Proposisi berikut,Kemudian tentukan kebenarannya!
Jika x=5 , Maka x^2=25
Jika x^2 bilangan asli, Maka x bilangan asli
Jika ∆ABC sama kaki, Maka ∠A= ∠C
Jika x^2 bilangan asli, Maka x bilangan asli
Jika ∆ABC sama kaki, Maka ∠A= ∠C
Jawaban
A.Pembuktian “TAUTOLOGI”
{(pvq)⇒r } ⇔{ (p⇒r)∧(q⇒r) }
Jawab :
p q r { ( p v q ) ⇒ r } ⇔ { ( p ⇒r ) ∧ (q ⇒ r ) }
B B B B B B B B B
B B S B S B S S S
B S B B B B B B B
B S S B S B S S B
S B B B B B B B B
S B S B S B B S S
S S B S B B B B B
S S S S B B B B B
Jawab :
p q r { ( p v q ) ⇒ r } ⇔ { ( p ⇒r ) ∧ (q ⇒ r ) }
B B B B B B B B B
B B S B S B S S S
B S B B B B B B B
B S S B S B S S B
S B B B B B B B B
S B S B S B B S S
S S B S B B B B B
S S S S B B B B B
Terbukti bahwa proposisi tsb
adalah TAUTOLOGI
{p⇒(q∧r) }⇔{(p⇒q)∧(p⇒r) }
Jawab :
p q r { p ⇒ (q ∧ r) } ⇔ { (p ⇒ q) ∧ ( p ⇒r ) }
B B B B B B B B B
B B S S S B B S S
B S B S S B S S B
B S S S S B S S S
S B B B B B B B B
S B S B S B B B B
S S B B S B B B B
S S S B S B B B B
Jawab :
p q r { p ⇒ (q ∧ r) } ⇔ { (p ⇒ q) ∧ ( p ⇒r ) }
B B B B B B B B B
B B S S S B B S S
B S B S S B S S B
B S S S S B S S S
S B B B B B B B B
S B S B S B B B B
S S B B S B B B B
S S S B S B B B B
Terbukti bahwa proposisi tsb
adalah TAUTOLOGI
{(p∧q)⇒r}⇔{(p∧ ∼r)⇒∼q)}
Jawab :
p q r ∼q ∼r { (p ∧ q ) ⇒ r } ⇔ { (p ∧ ∼r) ⇒∼q )}
B B B S S B B B S B
B B S S B B S B B S
B S B B S S B B S B
B S S B B S B B B B
S B B S S S B B S B
S B S S B S B B S B
S S B B S S B B S B
S S S B B S B B S B
Jawab :
p q r ∼q ∼r { (p ∧ q ) ⇒ r } ⇔ { (p ∧ ∼r) ⇒∼q )}
B B B S S B B B S B
B B S S B B S B B S
B S B B S S B B S B
B S S B B S B B B B
S B B S S S B B S B
S B S S B S B B S B
S S B B S S B B S B
S S S B B S B B S B
Terbukti bahwa proposisi tsb
adalah TAUTOLOGI
{(p∧q)⇒r}⇔{(p⇒r) v (q⇒r) }
Jawab :
p q r {(p ∧ q ) ⇒r } ⇔ {(p ⇒ r) v (q ⇒ r )}
B B B B B B B B B
B B S B S B S S S
B S B S B B B B B
B S S S B B S B B
S B B S B B B B B
S B S S B B B B S
S S B S B B B B B
S S S S B B B B B
Jawab :
p q r {(p ∧ q ) ⇒r } ⇔ {(p ⇒ r) v (q ⇒ r )}
B B B B B B B B B
B B S B S B S S S
B S B S B B B B B
B S S S B B S B B
S B B S B B B B B
S B S S B B B B S
S S B S B B B B B
S S S S B B B B B
Terbukti bahwa proposisi tsb
adalah TAUTOLOGI
(p⇒r)⇒{(p∧q)⇒r}∧{p⇒(q∧r) }⇒(p⇒q)
Jawab :
p q r (p⇒r) ⇒ { (p∧q) ⇒ r } ∧ { p ⇒ (q∧r)} ⇒ (p ⇒ q)
B B B B B B B B B B B B
B B S S B B S B S S B B
B S B B B S B B B S B S
B S S S B S B B B S B S
S B B B B S B B B B B B
S B S B B S B B B S B B
S S B B B S B B B S B B
S S S B B S B B B S B B
Jawab :
p q r (p⇒r) ⇒ { (p∧q) ⇒ r } ∧ { p ⇒ (q∧r)} ⇒ (p ⇒ q)
B B B B B B B B B B B B
B B S S B B S B S S B B
B S B B B S B B B S B S
B S S S B S B B B S B S
S B B B B S B B B B B B
S B S B B S B B B S B B
S S B B B S B B B S B B
S S S B B S B B B S B B
Terbukti bahwa proposisi tsb
adalah TAUTOLOGI
Jawaban
B.Konvers, Invers, Kontraposisi
dan Tabel Kebenaran
Jika x=5 , Maka x^2=25
Jawab :
Jawab :
p : x =5
q : x^2=25
q : x^2=25
konvers (q ⇒p)
Jika x^2=25 , maka x=5
Jika x^2=25 , maka x=5
Invers (∼p⇒∼q)
Jika x≠5 , maka x^2≠25
Jika x≠5 , maka x^2≠25
Kontraposisi (∼q⇒∼p)
Jika x^2≠25 , maka x≠5
Jika x^2≠25 , maka x≠5
Negasi (p∧∼q)
x=5 , akan tetapi x^2≠25
x=5 , akan tetapi x^2≠25
Tabel Kebenaran
p q ∼p ∼q Implikasi
( p⇒q) Konvers
(q ⇒p) Invers
(∼p⇒∼q) Kontraposisi
(∼q⇒∼p) Negasi
(p∧∼q)
B B S S B B B B S
B S S B S B B S B
S B B S B S S B S
S S B B B B B B s
p q ∼p ∼q Implikasi
( p⇒q) Konvers
(q ⇒p) Invers
(∼p⇒∼q) Kontraposisi
(∼q⇒∼p) Negasi
(p∧∼q)
B B S S B B B B S
B S S B S B B S B
S B B S B S S B S
S S B B B B B B s
Jika x^2 bilangan asli, Maka x
bilangan asli
Jawab :
Jawab :
p : x^2 bilangan asli
q : x bilangan asli
q : x bilangan asli
konvers (q ⇒p)
Jika x bilangan asli, maka x^2 bilangan asli
Jika x bilangan asli, maka x^2 bilangan asli
Invers (∼p⇒∼q)
Jika x^2 bukan bilangan asli , maka x bukan bilangan asli
Jika x^2 bukan bilangan asli , maka x bukan bilangan asli
Kontraposisi (∼q⇒∼p)
Jika x bukan bilangan asli, maka x^2 bukan bilangan asli
Jika x bukan bilangan asli, maka x^2 bukan bilangan asli
Negasi (p∧∼q)
x^2 bilangan asli, akan tetapi x bukan bilangan asli
x^2 bilangan asli, akan tetapi x bukan bilangan asli
Tabel Kebenaran
p q ∼p ∼q Implikasi
( p⇒q) Konvers
(q ⇒p) Invers
(∼p⇒∼q) Kontraposisi
(∼q⇒∼p) Negasi
(p∧∼q)
B B S S B B B B S
B S S B S B B S B
S B B S B S S B S
S S B B B B B B s
p q ∼p ∼q Implikasi
( p⇒q) Konvers
(q ⇒p) Invers
(∼p⇒∼q) Kontraposisi
(∼q⇒∼p) Negasi
(p∧∼q)
B B S S B B B B S
B S S B S B B S B
S B B S B S S B S
S S B B B B B B s
Jika ∆ ABC sama kaki, Maka ∠A= ∠C
Jawab :
Jawab :
p : ∆ ABC sama kaki
q : ∠A= ∠C
q : ∠A= ∠C
konvers (q ⇒p)
Jika ∠A= ∠C, maka ∆ ABC sama kaki
Jika ∠A= ∠C, maka ∆ ABC sama kaki
Invers (∼p⇒∼q)
Jika ∆ ABC bukan sama kaki , maka ∠A ≠∠C
Jika ∆ ABC bukan sama kaki , maka ∠A ≠∠C
Kontraposisi (∼q⇒∼p)
Jika ∠A ≠∠C, maka ∆ ABC bukan sama kaki
Jika ∠A ≠∠C, maka ∆ ABC bukan sama kaki
Negasi (p∧∼q)
∆ ABC sama kaki, akan tetapi ∠A ≠∠C
∆ ABC sama kaki, akan tetapi ∠A ≠∠C
Tabel Kebenaran
p q ∼p ∼q Implikasi
( p⇒q) Konvers
(q ⇒p) Invers
(∼p⇒∼q) Kontraposisi
(∼q⇒∼p) Negasi
(p∧∼q)
B B S S B B B B S
B S S B S B B S B
S B B S B S S B S
S S B B B B B B s
p q ∼p ∼q Implikasi
( p⇒q) Konvers
(q ⇒p) Invers
(∼p⇒∼q) Kontraposisi
(∼q⇒∼p) Negasi
(p∧∼q)
B B S S B B B B S
B S S B S B B S B
S B B S B S S B S
S S B B B B B B s
RETNO INDRIANI
A11.2011.06415
MATEMATIKA DISKRIT (A11.4304)