Retno Indriani's blog: September 2012

Logika matematika

Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif. Bidang-bidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa.

Jelas bahwa tanpa logika, kita sering melakukan kesalahan dalam penarikan kesimpulan.

Dalam kehidupan sehari-hari, sering kali kita di hadapkan pada suatu keadaan yang mengharuskan kita untuk membuat suatu keputusan. Agar keputusan kita itu baik dan benar, maka terlebih dahulu kita harus dapat menarik kesimpulan-kesimpulan dari keadaan yang kita hadapi itu, dan untuk dapat menarik kesimpulan yang tepat diperlukan kemampuan menalar yang baik.

Kemampuan menalar adalah kemampuan untuk menarik kesimpulan yang tepat dari bukti-bukti yang ada dan menurut aturan-aturan tertentu. Lalu apa kaitannya dengan logika?

Logika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar. Secara bahasa, logika berasal dari kata “logos” (bahasa Yunani), yang artinyakata, ucapan, pikiran. Kemudian pengertian itu berkembang menjadiilmu pengetahuan. Logika dalam pengertian ini adalah berkaitan dengan argumen-argumen, yang mempelajari metode-metode dan prinsip-prinsip untuk ,menunjukkan keabsahan (sah atau tidaknya) suatu argumen, khususnya yang dikembangkan melalui penggunaan metode-metode matematika dan simbol-simbol matematika dengan tujuan untuk menghindari makna ganda dari bahasa yang biasa kita gunakan sehari-hari.

Pengertian Pernyataan dan Bukan Pernyataan

Sebelum membahas pernyataan, terlebih dahulu kita bahas pengertian kalimat. Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut aturan bahasa yang mengandung arti.

Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. (pernyataan disebut juga preposisi, kalimat deklaratif). Benar diartikan ada kesesuaian antara apa yang dinyatakan dengan keadaan yang sebenarnya.

Perhatikan beberapa contoh berikut!

1. Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam

2. 4 + 3 = 8

3. Frodo mencintai 1

4. Asep adalah bilangan ganjil

Contoh nomor 1 bernilai benar, sedangkan contoh nomor 2 bernilai salah, dan keduanya adalah pernyataan. Sementara contoh nomor 3 dan 4 adalah kalimat yang tidak mempunyai arti.

Sekarang perhatikan contoh di bawah ini!

1. Rapikan tempat tidurmu!

2. Apakah hari ini akan hujan?

3. Indah benar lukisan ini!

4. Berapa orang yang datang?

Kalimat di atas tidak mempunyai nilai benar atau salah, sehingga bukan pernyataan.

Catatan:

Suatu pernyataan biasa kita simbolkan dengan huruf kecil p,q,r,s, dan sebagainya.

Kalimat Terbuka

Perhatikan contoh berikut ini!

1. yang duduk di bawah pohon itu cantik rupanya

2. seseorang memakai kacamata

3. 2x + 8y > 0

4. x + 2 = 8

Keempat contoh di atas belum tentu bernilai benar atau salah. Kalimat yang demikian itu dinamakan kalimat terbuka. Kalimat terbuka biasanya ditandai dengan adanya variabel (peubah). Jika variabelnya diganti dengan konstanta dalam semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi sebuah pernyataan.

Variabel (Peubah) adalah lambang yang menunjukkan anggota yang belum tentu dalam semesta pembicaraan, sedangkan konstanta adalah lambang yang menunjukkan anggota tertentu dalam semesta pembicaraan.

Pengganti variabel yang menyebabkan kalimat terbuka menjadi pernyataan yang bernilai benar, disebut selesaian atau penyelesaian.

Catatan:

“” artinya ekivalen

Contoh:

Buatlah pernyataan yang setara dengan pernyataan: “jika ia benar-benar mencuri, maka pada saat pencurian harus berada di tempat ini.”

Jawab:

Implikasi setara dengan kontraposisi. Maka pernyataan itu dapat diubah menjadi, “jika pada saat pencurian tidak berada di tempat itu, maka ia tidak mencuri.”

Penarikan Kesimpulan (Inferensi)

1) Pengertian Argumen

Argumen adalah serangkaian pernyataan-pernyataan yang mempunyai ungkapan-ungkapan pernyataan “penarikan kesimpulan”

Argumen terdiri dari dua kelompok pernyatan, yaitu premis(pernyataan-pernyataan sebelum kesimpulan) dan sebuah konklusi(kesimpulan).

2) Modus ponens, modus tollens, dan sillogisma

Sekarang kita akan membahas 3 bentuk argumentasi yang sah, yaitu modus ponens, modus tollens, dan sillogisma.

1. Modus ponens

Modus ponens disebut juga kaidah pengasingan.

Bentuknya sebagai berikut:

p --> q (premis 1) berupa implikasi

p (premis 2) berupa anteseden

——–-

q (konklusi)

2. Modus tollens

Modus tollens disebut juga kaidah penolakan.

Bentuknya sebagai berikut:

p --> q (premis 1) berupa implikasi

q (premis 2) berupa negasi dari konsekuen

———-

p (konklusi)

3. Silogisma

Bentuknya sebagai berikut:

p --> q (premis 1) berupa implikasi

q --> r (premis 2) berupa implikasi

———-

p --> r (konklus)

Contoh Soal :

A.Buktikan bahwa proposisi berikut “TAUTOLOGI” !!

{(pvq)⇒r } ⇔{ (p⇒r)∧(q⇒r) }
{p⇒(q∧r) }⇔{(p⇒q)∧(p⇒r) }
{(p∧q)⇒r}⇔{(p∧ ∼r)⇒∼q)
{(p∧q)⇒r}⇔{(p⇒r) v (q⇒r)}
(p⇒r)⇒{(p∧q)⇒r}∧{p⇒(q∧r) }⇒(p⇒q)

B.Tentukan Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari Proposisi berikut,Kemudian tentukan kebenarannya!

Jika x=5 , Maka x^2=25
Jika x^2 bilangan asli, Maka x bilangan asli
Jika ∆ABC sama kaki, Maka ∠A= ∠C

Jawaban

A.Pembuktian “TAUTOLOGI”

{(pvq)⇒r } ⇔{ (p⇒r)∧(q⇒r) }
Jawab :
p q r { ( p v q ) ⇒ r } ⇔ { ( p ⇒r ) ∧ (q ⇒ r ) }
B B B B B B B B B
B B S B S B S S S
B S B B B B B B B
B S S B S B S S B
S B B B B B B B B
S B S B S B B S S
S S B S B B B B B
S S S S B B B B B